Marchenko-Pastur 定律的 $q$ 形变

我们研究了与 little-$q$ Laguerre 权重相关联的 $q$ 形变随机酉系综，它提供了经典 Laguerre 酉系综的离散类比。在双标度极限 $q=e^{-\lambda/N}$ 下（其中 $N$ 为系统大小且 $\lambda \ge 0$），我们推导了当 $N\to \infty$ 时的极限谱分布，这给出了 Marchenko-Pastur 定律的 $q$ 形变。极限密度在一个明确确定的临界值 $\lambda_c$ 处经历相变：当 $\lambda<\lambda_c$ 时，其支撑集由单个带状区域组成；而当 $\lambda>\lambda_c$ 时，一个额外的饱和区域出现在该带状区域相邻处。我们对极限分布的推导基于三种互补的方法：矩方法、约束平衡问题分析以及正交多项式的渐近零点分布。作为推论，我们建立了经验测度的收敛性以及大偏差原理。此外，我们利用正交多项式的组合结构推导了谱矩的闭式表达式，并获得了这些矩的大 $N$ 展开。