共振摆动弹簧的脉动与进动

当弹性摆或摆动弹簧的弹性振荡与摆动振荡的频率之比为二比一时，两种振荡模式之间会发生规律的能量交换。我们称此现象为脉动。在水平偏移（即脉冲）之间，弹簧发生方位角变化，我们称之为进动角。脉动与阶跃式进动是摆动弹簧动力学的特征。该系统小振幅共振运动的调制方程是著名的三波方程。我们利用哈密顿约化求得完整的解析解。振幅与相位用 Weierstrass 与 Jacobi 椭圆函数表示。脉动的强度可由方程的不变式算出。我们找到了若干个进动角的解析公式。我们推导了用初等函数表示的脉动振幅与进动角的简化近似表达式，并通过数值实验证明了其高精度。因此，对于给定的初始条件，我们无需解方程即可描述包络动力学。反之，给定决定包络的参数，我们可以指定初始条件，以高精度产生该包络。