鞅扩散函数期望的性质

给定一个实值且时间非齐次的鞅扩散 $X$，我们研究由条件期望 $f(t,X_t)=E[g(X_T)|F_t]$ 定义的函数的性质。我们证明，只要 $g$ 是单调或 Lipschitz 连续的，则 $f(t,x)$ 在 $x$ 上也是单调或 Lipschitz 连续的。如果 $g$ 是凸的，则 $f(t,x)$ 在 $x$ 上是凸的且在 $t$ 上递减。我们还定义了过程的边缘支撑（marginal support），并证明它几乎必然包含该过程的路径。虽然 $f$ 未必联合连续，但我们证明它在 $X$ 的边缘支撑上是连续的。我们将这些结果证明推广到我们称为“几乎连续扩散”的扩散过程类，该类包含所有连续强 Markov 过程。