Projective systems and bounds on the length of codes of non-zero defect

在2007年的书中，Tsfasman和Vlăduăt邀请读者通过Projective systems的视角重新诠释现有的编码理论结果。将线性码重新定义为Projective systems可提供几何视角。本文采纳了这种视角，推导出关于非零缺陷码长度的下界。为帮助把握讨论框架，我们引入参数$m^{s}(k,q)$，表示最大长度为非退化$[n,k,d]_q$A$^s$MDS码的$m^{s}(k,q)$，以及$m^{s}_t(k,q)$，表示最大长度为非退化$[n,k,d]_q$A$^s$MDS码且其双码为A$^t$MDS码的$m^{s}_t(k,q)$，以及$\kappa(s,q)$，表示存在线性码（最大长度为$n=(s+1)(q+1)+k-2$）的最大维数$k$。特别是，我们在充分阐述$n$和$k$的条件下，解决了文献中缺失的问题：即当$[n,k,d]_q$A$^s$MDS码的双码也是A$^s$MDS码的情形。我们的结果包含或改进了文献中若干结果。我们还从发现中引出一些猜想。