单调单指标模型中的剖面最小二乘估计量

我们考虑在单指标回归模型 $Y=\psi(\alpha^T X)+\epsilon$ 中有限回归参数 $\alpha$ 的最小二乘估计量，其中 $X$ 是 $d$ 维随机向量，$\E(Y|X)=\psi(\alpha^T X)$，且 $\psi$ 是单调的。已有建议通过剖面最小二乘估计量来估计 $\alpha$，即在单调的 $\psi$ 与单位球边界 $S_{d-1}$ 上的 $\alpha$ 上最小化 $\sum_{i=1}^n(Y_i-\psi(\alpha^T X_i))^2$。尽管该建议已存在很久，其估计量是否具有 $\sqrt{n}$ 收敛性仍属未知。我们证明，使用相同的固定 $\alpha$ 逐点最小二乘估计量、但采用不同全局平方和的剖面最小二乘估计量，是 $\sqrt{n}$-收敛且渐近正态的。我们研究了相应损失函数之间的差异，并给出了与其它方法的比较。