具有口径 $(\omega_1, \omega)$ 的有向集的乘积

一个有向集 $P$ 称为口径 $(\omega_1, \omega)$，如果 $P$ 的每个不可数子集都包含一个有界无限子集。$P$ 称为生产性口径 $(\omega_1, \omega)$，如果对于每个具有口径 $(\omega_1, \omega)$ 的有向集 $Q$，$P \times Q$ 都是口径 $(\omega_1, \omega)$；$P$ 称为强口径 $(\omega_1, \omega)$，如果 $P$ 的可数幂是口径 $(\omega_1, \omega)$。我们证明了：(1) 不可数乘积仅在高度受限的情况下才是口径 $(\omega_1, \omega)$；(2) 许多（但非全部）口径 $(\omega_1, \omega)$ 有向集的 $\sum$-乘积是口径 $(\omega_1, \omega)$；(3) 存在有向集是口径 $(\omega_1, \omega)$ 但既非生产性也非强口径 $(\omega_1, \omega)$；(4) 存在有向集是强口径 $(\omega_1, \omega)$ 但非生产性口径 $(\omega_1, \omega)$。作为应用，确定了 $\sum \omega^{\omega_1}$ 在Isbell经典10个有向集的Tukey序中的位置。