给定圈型的随机置换生成群的概率

设 $\pi$ 与 $\pi'$ 为 $S_n$ 中具有受限圈型的两个随机元素，其中 $\pi$ 有 $x n^{1/2}$ 个不动点及 $yn/2$ 个二循环，$\pi'$ 类似地有 $x' n^{1/2}$ 个不动点及 $y'n/2$ 个二循环。我们证明：只要 $(x, x')$ 不接近于 $(0, \infty)$ 或 $(\infty, 0)$，事件 $G = \langle \pi, \pi' \rangle$ 为传递的与 $G \geq A_n$ 的概率均约为 $$(1 - yy')^{1/2} \exp\left(- \frac{xx' + \frac12 x^2 y' + \frac12 {x'}^2 y}{1 - yy'}\right).$$ 该公式由作者最近一篇论文 (arXiv:1904.12180) 中的一些初步结果导出。作为一个应用，我们证明 $S_n$ 中均匀随机共轭类上的两个均匀随机元素以约 51% 的概率生成该群。