素根比 over 素域：齐次维数为零的偏移素数分布及其对 PRIM-LWE 的影响

对于素数 $p$，记 $c(p)$ 为 $n\times n$ 矩阵阵列中行列式为 $p$ 模的原根比例的极限值。该量 $c(p)$ 是欧拉函数比 $\varphi(p-1)/(p-1)$ 的一种自然的乘性变形，并继承了其在素数上的分布行为。存在性与连续性由偏移素数的 Erd\H{o}s--Wintner--Hildebrand 框架保证。我们证明了以下新结果：无条件地，$\inf_p c(p)=0$，且最优阶为 $\min_{p\le x}c(p)\asymp 1/\log\log x$；其倒数满足 $\limsup_{p\to\infty, \, p\text{ prime}} 1/(c(p)\log\log p)=e^{\gamma}$，且不存在更小的常数。我们给出完整证明，将 Erd\H{o}s 的论证方法结合 Jessen--Wintner 纯类型二分法，证明极限分布为纯奇异分布，并进一步强化为 $\dim_H(\mu_G)=0$，即极限测度由齐次维数为零的巴拿赫集合承担。该分布在 $[0,\tfrac12]$ 上具有完全的拓扑支撑，并 admits 一个由奇数素数索引的伯努利积表示。其矩由收敛的欧拉积给出，米尔斯变换 $\mathbb{E}[X^s]$ 可延拓为复平面上的整函数，且在 $\operatorname{Re}(s)>0$ 区域无零点。近右端点时，$1-G(\tfrac12-\varepsilon)\sim\kappa/\log(1/\varepsilon)$，其中 $\kappa$ 为显式常数。$1/c(p)$ 等于从学习误差 (LWE) 降至 PRIM-LWE 在格基密码学中的抽样重jection 采样开销的维度均匀期望值。显式界限为当前 NIST 后量子标准中出现的所有素数以及代表性 NTT-friendly 模数提供了具体的开销估计。