素数幂与素数积距离图

如果图 $G$ 的顶点可以用不同的整数标记，使得任意两个相邻顶点的标签之差是至多 $k$ 个素数的乘积，则称 $G$ 为 $k$-素数积距离图。如果一个图是 $k$-素数积图但不是 $(k-1)$-素数积图，则称其具有素数积数 $ppn(G)=k$。类似地，如果图 $G$ 的顶点可以用不同的整数标记，使得任意两个相邻顶点的标签之差是某个素数的 $j$ 次幂（其中 $j \leq k$）（或者恰好是某个素数的 $k$ 次幂），则称 $G$ 为素数 $k$ 次幂图（分别为严格素数 $k$ 次幂图）。我们证明了 $ppn(K_n) = \lceil \log_2(n)\rceil - 1$，且对于非空的 $k$-色图 $G$，有 $ppn(G) = \lceil \log_2(k)\rceil - 1$ 或 $ppn(G) = \lceil \log_2(k)\rceil$。我们确定了所有完全二部、三部和四部图的 $ppn(G)$。我们证明了 $K_n$ 是素数 $k$ 次幂图当且仅当 $n < 7$，并确定了环图和外平面图 $G$ 成为严格素数 $k$ 次幂图的条件。我们发现了素数积距离图和素数幂距离图与孪生素数猜想、Green-Tao 定理以及费马大定理之间的联系。