有限数据下的预测：贝叶斯 (X)PINNs、纠缠曲面与过度自信

从有限或有噪声数据中求解微分方程仍然是物理信息神经网络（PINNs）面临的关键挑战，PINNs 通常被应用于已知且光滑的解。在这项工作中，我们探索了贝叶斯 PINNs 和扩展 PINNs，即 B-(X)PINNs，用于求解高能理论中典型的非线性二阶微分方程，其中数据仅来自边界域，以基准测试此类 PINNs 的合适方法。特别地，我们考虑了一个纠缠曲面——全息术中典型的微分方程。我们进行了渐近分析以从边界域生成解析训练数据。我们还探讨了在由物理先验约束的模型中过度自信的含义，并论证了标准的过度自信度量在处理 B-PINNs 时并不适用。过度自信在损失函数具有软约束或硬约束的系统中可能是一种自然特征而非缺陷；需要观察过度自信何时是模型遵循物理约束的人为产物。为了诊断这种效应，我们引入了一个信息密度量和一个局部物理约束耦合（PCC）度量，以捕捉强制物理在局部程度上如何压缩后验分布。我们还考虑了这些量在 Liouville 型方程和 Van der Pol 方程上的应用，以进一步探测明显的过度自信。