预处理用于矩阵指数计算的 restarted 和 shifted 块 FOM 算法

近似计算 $e^{tA}B$（其中 $A$ 为大稀疏矩阵，$B$ 为矩形矩阵）是许多科学和工程计算的关键步骤。处理矩阵指数函数的一个有力工具是采用合适的有理逼近，例如 Carath$\acute{\rm e}$odory-Fej$\acute{\rm e}$r 逼近，其核心归结为求解具有多个右端项的 shifted 线性方程组。restarted 和 shifted 块 FOM 算法是解决此类问题的常用技术。然而，确定既能保持原始结构又适用于 shifted 系统的良好预条件子是一项困难任务。本文提出了一种针对 restarted 和 shifted 块 FOM 算法的新预条件子。关键在于 Carath$\acute{\rm e}$odory-Fej$\acute{\rm e}$r 逼近的极点的绝对值处于中等量级，且可能远小于所涉矩阵的范数。所提策略的优势在于能够同时对所有 shifted 线性方程组进行预处理，并在重启后保持 shifted 线性方程组的原始结构。我们提供了理论结果以证明该预条件策略的合理性。此外，还讨论了新方法在 Toeplitz 矩阵指数问题中的应用。数值实验表明，新算法在矩阵指数计算方面优于许多 state-of-the-art 算法。