精确验证压缩感知中的零空间条件：一种夹逼算法

在本文中，我们提出了新的高效算法来验证压缩感知（CS）中的零空间条件。给定一个 $(n-m) \times n$ ($m>0$) 的 CS 矩阵 $A$ 和一个正数 $k$，我们感兴趣的是计算 $\displaystyle \alpha_k = \max_{\{z: Az=0,z\neq 0\}}\max_{\{K: |K|\leq k\}}$ ${\|z_K \|_{1}}{\|z\|_{1}}$，其中 $K$ 代表 $\{1,2,...,n\}$ 的子集，而 $|K|$ 是 $K$ 的基数。特别地，我们感兴趣的是找到满足 $\alpha_k < {1}{2}$ 的最大 $k$。然而，计算 $\alpha_k$ 已知极其困难。在本文中，我们首先提出了一系列新的多项式时间算法来计算 $\alpha_k$ 的上界。基于这些新的多项式时间算法，我们进一步设计了一种新的夹逼算法，以大大降低的复杂度计算 \emph{精确} 的 $\alpha_k$。在需要时，这种新的夹逼算法还能在计算复杂度和结果精度之间实现平滑的权衡。实证结果显示，我们的算法性能优于现有的已知方法；并且我们的算法能以远低于穷举搜索的复杂度输出 $\alpha_k$ 的精确值。