有理函数及其对角线的正性

判定多变量有理函数是否正定（即其所有 Taylor 系数均为正）的问题可追溯至 Szeg\H{o} 以及 Askey 和 Gasper，他们的工作启发了近期的研究。众所周知，有理函数的对角线系数是 $D$-有限的。本笔记的动机源于这样一个观察：对于若干受到特别关注的有理函数，其对角线项实际上具有算术意义，并源自具有模参数化的微分方程。在这些情形中，这使我们能够断定其对角线是正的。进一步受 Gillis、Reznick 和 Zeilberger 的一项结果启发，我们研究了有理函数的正性与其对角线正性之间的关系。