球冠上的正求积公式与Marcinkiewicz-Zygmund不等式

令 $\Pi_n^d$ 表示 $\mathbb{R}^{d+1}$ 的单位球面 $\sph$ 上次数不超过 $n$ 的所有球多项式的空间，并令 $d(x, y)$ 表示 $x, y\in \sph$ 之间通常的测地距离 $\arccos x\cdot y$。给定球冠 $$B(e,\al)=\{x\in\sph: d(x, e) \leq \al\}, (e\in\sph, \text{$\al\in (0,\pi)$ 且有界远离 $\pi$}),$$ 我们定义度量 $$\rho(x,y):=\frac 1{\al} \sqrt{(d(x, y))^2+\al(\sqrt{\al-d(x, e)}-\sqrt{\al-d(y,e)})^2},$$ 其中 $x, y\in B(e,\al)$。我们证明给定任意 $\be\ge 1$、$1\leq p<\infty$ 以及 $B(e,\al)$ 的任意有限子集 $\Ld$ 满足 $\dmin_{\sub{\xi,\eta \in \Ld \xi\neq \eta}} \rho (\xi,\eta) \ge \f \da n$ 且 $\da\in (0,1]$，存在与 $\al$、$n$、$\Ld$ 和 $\da$ 无关的正常数 $C$，使得对任意 $f\in\Pi_{n}^d$，\begin{equation*} \sum_{\og\in \Ld} (\max_{x,y\in B_\rho (\og, \be\da/n)}|f(x)-f(y)|^p) |B_\rho(\og, \da/n)| \le (C \dz)^p \int_{B(e,\al)} |f(x)|^p d\sa(x),\end{equation*} 其中 $d\sa(x)$ 表示 $\sph$ 上通常的Lebesgue测度，$$B_\rho(x, r)=\Bl\{y\in B(e,\al): \rho(y,x)\leq r\Br\}, (r>0),$$ 且 $$\Bl|B_\rho(x, \f\da n)\Br|=\int_{B_{\rho}(x, \da/n)} d\sa(y) \sim \al ^{d}\Bl[ (\f{\da}n)^{d+1}+ (\f\da n)^{d} \sqrt{1-\f{d(x, e)}\al}\Br]$$。作为推论，我们建立了球冠 $B(e,\al)$ 上的正求积公式与Marcinkiewicz-Zygmund不等式。