特殊情形下 Koch 问题的肯定回答

一个拓扑半群若包含一个稠密循环子半群，则称为单生成的。Koch 问题询问是否每个局部紧单生成幺半群都是紧的。该问题悬而未决六十余年，直至 2018 年 Zelenyuk 给出了否定回答。本文对一些特殊类的拓扑幺半群获得了 Koch 问题的肯定回答。具体而言，我们证明了一个局部紧单生成拓扑幺半群是紧拓扑群，当且仅当 $S$ 是拟拓扑群的一个子幺半群，当且仅当 $S$ 具有开平移，当且仅当 $S$ 在 Averbukh 意义下是非黏性的。最后一个条件是指：对于 $S$ 的单位元 $1$ 的任意邻域 $U$ 以及任意元素 $a\in S$，存在 $a$ 的邻域 $V$，使得任何满足 $(xV\cup Vx)\cap V\ne\emptyset$ 的元素 $x\in S$ 都属于 $1$ 的邻域 $U$。