矩阵模式的流行差

以下组合猜想自然源于 Ackelsberg、Bergelson 与 Best 近期的遍历论工作。设 $M_1$、$M_2$ 为 $k\times k$ 整数矩阵，$G$ 为阶 $N$ 的有限阿贝尔群，$A\subseteq G^k$ 且 $|A|\ge\alpha N^k$。若 $M_1$、$M_2$、$M_1-M_2$ 与 $M_1+M_2$ 均为 $G^k$ 的自同构，是否存在流行差 $d \in G^k\setminus\{0\}$ 使得 $$\#\{x \in G^k: x, x+M_1d, x+M_2d, x+(M_1+M_2)d \in A\} \ge (\alpha^4-o(1))N^k.$$ 我们证明该猜想一般不成立，但在 $G = \mathbb{F}_p^n$ 且 $p$ 为奇素数、并附加谱条件——即 $M_1M_2^{-1}$ 的特征值（在 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上）中没有一对互为相反——时成立。特别地，“旋转正方形”模式不满足该特征值条件，我们给出了 $(\mathbb{F}_5^n)^2$ 中正密度集合的构造，使该模式无非平凡流行差。这与三点模式形成惊人对比，后者我们在所有紧阿贝尔群上处理且不需要附加谱条件。