无平方因子模 m_k 下 Z(.) 的加法结构及哥德巴赫猜想
摘要
前 k 个素数（2..p_k）的乘积 m_k 的邻数 m_k +/- 1 的所有素因子均大于 p_k，这意味着存在无穷多素数[欧几里得]。位于 p_k 与 m_k 之间的所有素数均属于半群 Z_{m_k}(.)（模 m_k 乘法）中单位构成的群 G_1。由于模数无平方因子，Z_{m_k} 是 2^k 个群的不交并，具有同样多的幂等元——m_k 的每个因子对应一个，它们构成一个布尔格 BL。本文研究 Z_{m_k} 的生成元及其格的加法性质。证明了 BL 中每一对互补元模 m_k 相加为 1，且 BL 中每个偶幂等元 e 在 G_1 中有后继 e+1。由此推出 G_1+G_1 \equiv E，即 Z_{m_k} 中偶剩余构成的集合，从而每个偶剩余都是两个单位根之和，证明了模 m_k 的“剩余类哥德巴赫性质”（“GR”）。……通过以权重 m_k 的“进位” a < p_{k+1} 扩展模 m_k 的剩余，对 k 进行归纳，得到整数的一个素数筛法。哥德巴赫猜想（“GC”）对某个 2n 不成立将与某个 k 的 GR(k) 矛盾。由伯特兰假设（对每个 i>1 存在素数 i<p<2i），连续的 2n 落在重叠区间内，而 G_1 模 m_k 中最小的非单位合数元为 p_{k+1}^2，从而得出“GC”：每个 2n > 4 都是两个奇素数之和。
引用
@article{arxiv.math/0103091,
title = {Additive structure of Z(.) mod m_k (squarefree) and Goldbach's Conjecture},
author = {N. F. Benschop},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0103091},
year = {2009}
}
备注
V1: 16 pages; Non-minimal expository style. Application of semigroups to arithmetic. See also http://www.iae.nl/users/benschop/ng-abstr.htm and intro at http://www.iae.nl/users/benschop/fewago.htm Replaced: V3 is shorter version (10 pgs) and has last Thm(GC) with new last paragraph. V4: new sections 4 and 5. V5: extended 'Notation' paragraph in the Intro