指数集为紧凸集的多项式及相应加权极值函数——Siciak-Zakharyuta 定理

经典 Siciak-Zakharyuta 定理指出，$\mathbb C^n$ 子集 $E$ 的 Siciak-Zakharyuta 函数 $V_{E}$（亦称 $E$ 的多次调和 Green 函数或全局极值函数）在 $E$ 为紧集时等于 Siciak 函数 $\Phi_E$ 的对数。Siciak-Zakharyuta 函数定义为在 $E$ 上取负值的 Lelong 类函数的上包络，而 Siciak 函数是在 $E$ 上满足 $|p|\leq 1$ 的 $\mathcal{P}_m(\mathbb C^n)$ 中次数 $\leq m$ 的多项式 $p$ 的 $m$ 次根的上包络。我们将 Siciak-Zakharyuta 定理推广到多项式空间 ${\mathcal P}_m(\mathbb C^n)$ 被 ${\mathcal P}_m^S(\mathbb C^n)$ 替代的情形，后者由指数限制于集合 $mS$ 的所有多项式组成，其中 $S$ 是 $\mathbb R^n_+$ 中包含 $0\in S$ 的紧凸子集。定理表明：若 $q$ 是 $\mathbb C^n$ 中闭集 $E$ 上的容许权，则 $V^S_{E,q}=\log\Phi^S_{E,q}$ 在 $\mathbb C^{*n}$ 上成立，当且仅当 $S$ 中的有理点构成 $S$ 的稠密子集。