多项式优化及其在稳定性分析与控制中的应用——平方和方法的替代方案

本文探讨了多项式优化问题各类算法的优势，重点关注平方和规划的替代方案。虽然我们提及了量词消去、重构线性化技术、开花算法和 Gröbner 基方法的优缺点，但主要聚焦于由 Pólya 定理、Bernstein 定理和 Handelman 定理所定义的算法。我们首先将多项式优化问题表述为验证半代数集的可行性问题。随后，我们讨论了 Pólya 算法、Bernstein 算法和 Handelman 算法如何将半代数集可行性的难解问题转化为线性和/或半定规划问题。我们将这些算法应用于鲁棒稳定性分析和非线性动力系统稳定性等不同问题。作为本文的一项贡献，我们将 Pólya 算法应用于具有参数不确定系统的 $H_\infty$ 控制问题。文中提供了数值算例，以比较这些算法与文献中其他多项式优化算法的精度。