序列逆转的多项式复杂度与映射的局部逆转

本文定义并探讨了关于在二进制域上对有限序列进行逆转的问题，即寻找满足由固定次数多项式定义的递推关系(RR)规则的序列前缀元素。序列在该次数下的最小变量数(阶)称为该次数下的序列的"多项式复杂度"，而同时使得该次数下多项式最小变量数、序列唯一前缀以及其单项式评估矩阵秩最大的次数下的序列的"逆转多项式复杂度"。本文的解决方案发现了解映射 $F:\mathbb{F}_2^n\rightarrow\mathbb{F}_2^n$ 在 $\mathbb{F}_2^n$ 中点 $y$ 处的局部逆转问题，即从方程 $y=F(x)$ 中求解 $x$。局部逆转问题具有重要的应用价值。此前的工作已证明，序列已知的最小阶线性递推关系(LRR)，即序列的线性复杂度(LC)，可在序列为周期序列时提供唯一逆转解。本文扩展了这一理论，通过考虑由次数大于1的多项式定义的递推关系来求解逆转问题。序列满足的次数下多项式最小阶已知为非线性复杂度(定义为由RR确定序列的反馈移位寄存器最小阶)，称为序列的"最大阶复杂度"(MOC)。然而，与LC不同，任何次数下都不存在唯一的多项式递推关系。