序列的字线性复杂度与有限域上映射的局部求逆

本文发展了有限域 $\ff$ 上向量值序列的\emph{字线性复杂度}（$WLC$）概念，作为序列线性复杂度（$LC$）及其系综的推广。该复杂度概念将系综（向量值）序列的极小多项式概念推广到矩阵极小多项式，并表明对于由映射 $F:\ff^n\rightarrow\ff^n$ 在给定 $y\in\ff^n$ 处迭代生成的向量值序列，当序列周期时，矩阵极小多项式可用于求解方程 $y=F(x)$ 的唯一局部逆 $x$。在先前论文 \cite{sule322, sule521, sule722,suleCAM22} 中，利用众所周知的序列 $LC$ 概念，发展了在迭代序列周期时求解有限域上映射局部逆的思想及其在密码分析各类问题中的应用。$LC$ 是序列关联极小多项式的次数。将 $LC$ 推广到 $WLC$ 考虑向量值（或面向字）序列，使得面向字的递推关系通过矩阵-向量乘法获得，而非 $LC$ 定义中考虑的标量乘法。因此关联极小多项式为矩阵值，其次数称为 $WLC$。推导了当序列周期时存在与面向字递推关系关联的非平凡矩阵多项式的条件。表明当矩阵极小多项式存在时 $n(WLC)=LC$。最后表明，当此类多项式存在时，利用矩阵极小多项式求解局部求逆问题，从而导出一种面向字的局部求逆方法。