多拟阵之于有限群犹如拟阵之于有限域

给定有限群乘积 $\mathcal{G} = \displaystyle\prod^n_{i=1} \Gamma_i$ 的子群 $\mathcal{H}$ 和 $b>1$，我们定义一个多拟阵 $P(\mathcal{H},b)$。如果所有 $\Gamma_i$ 同构于 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$，$p$ 为素数，且 $b=p$，则 $P(\mathcal{H},b)$ 是与任何行空间等于 $\mathcal{H}$ 的 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-矩阵相关联的通常拟阵。一般而言，$P(\mathcal{H},b)$ 与 $\mathcal{H}$ 之间的关系在许多方面反映了拟阵与有限向量空间子空间之间的关系。这些包括由排除 minor 表示的可表示性、Crapo-Rota 临界定理、表示 $P(\mathcal{H},b)$ 多拟阵对偶的具体代数对象的存在性、当 $\mathcal{H}$ 是非阿贝尔群上的群码时 Greene 定理和 MacWilliams 恒等式的类比，以及与由 $\mathcal{G}$ 和 $\mathcal{H}$ 确定的商空间的组合拉普拉斯算子的联系。我们利用群 Crapo-Rota 临界定理证明了图上正常着色与无零流之间的经典对偶性向超图的扩展。