局部近似差分隐私下的逐点自适应核密度估计

我们在局部近似差分隐私框架下考虑非参数密度估计。与具有可信管理者的集中式隐私场景不同，在局部设定中，匿名化必须已在个体数据拥有者一侧得到保证，因此必须先于任何数据挖掘任务。因而，发布的匿名化数据应与尽可能多的统计过程兼容。我们建议向核密度估计量加入 Laplace 噪声与高斯过程（均适当缩放）以得到后者的近似差分隐私版本。对于由光滑参数 $s>1/2$ 索引的 Sobolev 类，我们在固定点处对均方误差获得了极小极大型结果。特别地，我们表明，若带宽参数设定正确，则取出来自 $n$ 个不同数据拥有者的私有核密度估计量的平均可达到最优收敛速率。值得注意的是，在局部差分隐私下关于样本量 $n$ 的最优收敛速率为 $n^{-(2s-1)/(2s+1)}$，因而劣化至无隐私限制时成立的速率 $n^{-(2s-1)/(2s)}$。由于带宽参数的最优选择依赖于光滑度 $s$，故在实践中不可得，因此带宽选择的自适应方法是必要的，并且必须在局部隐私框架下直接基于匿名化数据执行。我们通过一种针对隐私设定改造的 Lepski 方法的变体来解决此问题，并对私有核密度估计量获得一般的 oracle 不等式。在 Sobolev 情形下，所得自适应估计量至少可达到最优收敛速率，至多相差额外对数因子。