$R^d$ 中混合密度估计及其导数的插件误差界

混合密度 $f_p$ 在 $R^d\ (d \ge 1)$ 中可估计，但混合密度 $p$ 的估计通常仅在 $d=1$ 时获得；$h$ 为混合核。当 $f_p$ 的估计具有形式 $f_{\hat p_n}$ 且 $p$ 是 $\tilde q$-光滑的、在 $R^d$ 中紧集外消失时，本文给出了 $\hat p_n$ 及其导数的 $L_u$-误差（与风险）的插件上界；$d \ge 1, 1 \le u \le \infty$。这些界依赖于 $f_{\hat p_n}$ 的 $L_u$-误差（或风险）、$h$ 的傅里叶变换 $\tilde h$，以及近似中所用核 $K$ 的带宽。通过 $f_{\hat p_n}$ 选择 $\hat p_n$ 表明，当 $f_{\hat p_n}$ 最优时 $\hat p_n$ 的误差率可能仅接近最优，但对于 $d>1$ 可能不存在竞争的估计及其误差率。在 $d=1$ 的例子中，当 $h$ 超光滑时上界是最优的；当 $h$ 光滑时，上界与最优率相差因子 $(\log n)^{\xi}\ (\xi>0)$；当 $\tilde h$ 具有周期性零点时上界是满意的。