矩阵微分方程 $\dot x=ABx$ 的扰动分析

两个复矩阵对 $(A,B)$ 和 $(A',B')$ 若是共轭等价的，则存在非奇异的 $S$ 和 $R$ 使得 $(A',B')=(S^{-1}AR,R^{-1}BS)$。M.I. Garc\'{\i}a-Planas 和 V.V. Sergeichuk（1999）构造了正则对 $(A,B)$ 关于共轭等价的极小变形；即一个简单正规形，使得所有接近 $(A,B)$ 的矩阵对 $(A + \widetilde A, B+\widetilde B)$ 都可通过光滑依赖于 $\widetilde A$ 和 $\widetilde B$ 元素的共轭等价变换约化到该形。$(A,B)$ 的每个扰动 $(\widetilde A,\widetilde B)$ 定义了矩阵 $AB$ 的一阶诱导扰动 $A\widetilde{B}+\widetilde{A}B$，它是乘积 $(A +\widetilde{A})(B+\widetilde{B}) = AB + A\widetilde{B}+\widetilde{A}B+ \widetilde A \widetilde B$ 中的一阶项。我们找出了所有正则矩阵对 $(A,B)$，使得对于 Garc\'{\i}a-Planas 和 Sergeichuk 正规形中所有非零扰动，其一阶诱导扰动 $A\widetilde{B}+\widetilde{A}B$ 均非零。该问题出现在矩阵微分方程 $\dot x=Cx$ 的理论中，其中 $C$ 为两矩阵之积：$C=AB$；通过代换 $x = Sy$，可用相似变换 $S^{-1}CS$ 约化 $C$，并用共轭等价变换 $(S^{-1}AR,R^{-1}BS)$ 约化 $(A,B)$。