渗流博弈、概率细胞自动机与硬芯模型

设正方形格点 $\mathbb{Z}^2$ 上的每个格点独立地被赋予三种状态之一：以概率 $p$ 为\textit{陷阱}，以概率 $q$ 为\textit{目标}，以概率 $1-p-q$ 为\textit{开放}，其中 $0<p+q<1$。考虑如下博弈：一枚棋子从原点出发，两名玩家轮流移动，每次移动包括将棋子从当前位置 $x$ 移至 $x+(0,1)$ 或 $x+(1,0)$。将棋子移至陷阱的玩家立即输掉博弈，而将棋子移至目标的玩家立即赢得博弈。在最佳策略下，博弈以\emph{平局}结束（即任何一方都无法强制获胜）的概率是否为正？这等价于某一类基本一维概率细胞自动机 (PCA) 的遍历性问题。这些自动机已在有向格点动物枚举、黄金均值子移位和硬芯模型等背景下被研究，其遍历性已被多位作者列为开放问题。我们证明了这些 PCA 是遍历的，相应地，$\mathbb{Z}^2$ 上的博弈不存在平局。另一方面，我们证明了在某些高维有向图上，对于合适的参数值，某些类似的博弈\emph{确实}会出现平局，包括所有 $d\geq3$ 维中 $\mathbb{Z}^d$ 偶子格点的有向版本。这是通过降维至 $d-1$ 维的硬芯格子气体模型证明的。我们表明，只要对应的硬芯模型存在多个 Gibbs 分布，就会出现平局。我们猜想，在标准有向格点 $\mathbb{Z}^d$ ($d\geq 3$) 上也会出现平局，但在此处我们的方法遇到了根本性障碍。