矩阵空间的划分及其在 $q$-车多项式中的应用

我们研究矩阵空间 $\mathbb{F}_q^{n \times m}$ 上的行空间划分与枢轴划分。我们证明这两种划分都是自反的，且行空间划分是自对偶的。此外，利用多种组合方法，我们显式计算了与这些划分相关的 Krawtchouk 系数。这为线性秩度量码的行空间枚举量与枢轴枚举量建立了 MacWilliams 型恒等式。随后我们推广了秩度量码的类 Singleton 界，并引入两个新的码极值性概念。二者均推广了 MRD 码的概念，并在迹对偶下保持不变。此外，依任一概念极值的码均满足类似于 MRD 码的强刚性性质。作为我们将结果应用于组合学的例子，我们给出了与 Ferrers 图棋盘相关的 $q$-车多项式的闭式公式。进而，我们利用有限域上的矩阵与车放置之间的联系，证明支撑于 Ferrers 图上的 $\mathbb{F}_q$ 上秩为 $r$ 的矩阵数目是 $q$ 的多项式，其次数随 $r$ 严格递增。最后，我们研究了秩、行空间与枢轴划分的 MacWilliams 扩张定理的自然类比。