(k,3)-配置的粒子内容

对所有 $k$，我们构造了满足 $a_i+a_{i+1}+a_{i+2}\leq k$ 的非负整数序列集 ${\bf a}=(a_i)_{i\in{\bf Z}_{\geq0}}$ 与带标记划分集 $(\lambda,\rho)$ 之间的一一对应。这里 $\lambda=(\lambda_1,...,\lambda_n)$ 是满足 $k\geq\lambda_1\geq...\geq\lambda_n\geq1$ 的划分，且 $\rho=(\rho_1,...,\rho_n)\in{\bf Z}_{\geq0}^n$ 满足当 $\lambda_j=\lambda_{j+1}$ 时 $\rho_j\geq\rho_{j+1}$。可将 $\lambda$ 视为配置 ${\bf a}$ 的粒子内容，$\rho_j$ 视为第 $j$ 个粒子的能级，其权重为 $\lambda_j$。总能量 $\sum_iia_i$ 写为两体相互作用项 $\sum_{j<j'}A_{\lambda_j,\lambda_{j'}}$ 与自由部分 $\sum_j\rho_j$ 之和。该一一对应蕴含了一维配置和 $\sum_{\bf a}q^{\sum_iia_i}$ 的费米子公式。我们还导出了描述对应于具有给定的 $a_0$ 和 $a_1$ 值且对所有 $i>N$ 有 $a_i=0$ 的配置的配置和的多项式恒等式。