加权整数组合数的若干初等同余式

非负整数 $n$ 的整数组合是指和为 $n$ 的非负整数元组 $(\pi_1,\ldots,\pi_k)$；其中的 $\pi_i$ 称为组合的分部。对于固定的分部数 $k$，$f$-加权整数组合（文献中亦称 $f$-着色整数组合）的个数，其中每个分部大小 $s$ 可以以 $f(s)$ 种不同的颜色出现，由扩展二项式系数 $\binom{k}{n}_{f}$ 给出。我们推导了 $\binom{k}{n}_{f}$ 的若干同余性质，其中大多数类似于普通二项式系数的相应性质。其中包括 $\binom{k}{n}_{f}$ 的奇偶性、巴贝奇同余、卢卡斯定理等。我们还给出了 $c_{f}(n)$（具有任意多个分部的 $f$-加权整数组合的个数）的同余式，以及扩展二项式系数和的同余式。最后我们将结果应用于加权整数组合的素数判定准则。