部分广义交叉积、Brauer群与七项正合序列的比较

给定群 $G$ 在交换环 $R$ 上的单位部分作用 $\alpha$，我们记 $\mathbf{PicS}_{R^{\alpha}}(R)$ 为部分可逆 $R$-双模的同构类的 Picard 单半群，这些双模在 $\alpha$-不变元素构成的子环 $R^{\alpha} \subseteq R$ 上是中心的，并考虑一个特定的单位部分表示 $\Theta : G \to \mathbf{PicS}_{R^{\alpha}}(R)$，以及与 $\Theta$ 相关的部分广义交叉积的同构类构成的阿贝尔群 $\mathcal{C}(\Theta/R)$，它已在获得 Chase-Harrison-Rosenberg 七项正合序列的部分作用类比中显示出其重要性。我们用形如 $\mathcal{D}(f\Theta)$ 的部分广义积来描述 $\mathcal{C}(\Theta/R)$，其中 $f$ 是取值于 $\mathbf{PicS}_{R^{\alpha}}(R)$ 的子单半群的 $G$ 的部分 $1$-上循环。假设 $G$ 是有限的且 $R^{\alpha} \subseteq R$ 是部分 Galois 扩张，我们证明任何包含 $R$ 作为极大交换子代数的 Azumaya $R^\alpha$-代数，都同构于一个部分广义交叉积。此外，我们证明相对 Brauer 群 $\mathcal{B}(R/R^\alpha)$ 可以视为 $\mathcal{C}(\Theta/R)$ 模去一个与 $R$ 的 Picard 群同构的子群的商。最后，我们证明此前针对交换环的部分 Galois 扩张获得的 Chase-Harrison-Rosenberg 序列的类比，可以从非交换情形下建立的一个近期七项正合序列中推导出来。