参数化 $\mathrm{A}_1$ Shimura 簇的 Shimura 子簇及相关几何问题

本文给出了 $X_{a, b} = (\mathbf{H}^2)^a \times (\mathbf{H}^3)^b$ 的不可约算术商的全测地子空间的可公度类的完整参数化。一个特例描述了 $\mathrm{A}_1$ Shimura 簇类型的所有 Shimura 子簇。对于任意 $n\geq 1$，我们构造了具有恰好 $n$ 个全测地子流形/Shimura 子簇的可公度类的流形/Shimura 簇的例子。这与先前研究的算术双曲 $3$-流形与四元数 Shimura 曲面的情形形成鲜明对比，在那些情形中，存在一个测地子流形的可公度类就意味着存在无穷多个类。