粗糙背景上波动方程的参数拟基本解 III：相函数的时空正则性

本文是系列四篇论文 \cite{param1}, \cite{param2}, \cite{param3}, \cite{param4} 中的第三篇，致力于构造和控制齐次波动方程 $\square_{\bf g} \phi=0$ 的参数拟基本解，其中 ${\bf g}$ 是满足 Einstein 真空方程的粗糙度量。在仅假设 ${\bf g}$ 的曲率张量 ${\bf R}$ 满足 $L^2$ 界的条件下，控制该参数拟基本解及其误差项是证明 \cite{Kl:2000} 中提出、并由 S. Klainerman、I. Rodnianski 和作者在 \cite{boundedl2} 中解决的 $L^2$ 曲率有界猜想的关键步骤。在更一般的层面上，本系列论文处理粗糙背景上程函方程的控制问题，以及推导具有粗糙相函数和符号的流形上 Fourier 积分算子的 $L^2$ 界，因此也具有独立的意义。