数域上的参数化数的几何与标量扩张

Schmidt与Summerer的参数化数的几何研究$\mathbb{R}^n$中点的有理逼近。我们将该理论扩展到数域$K$及其在位$w$处的完备化$K_w$，以处理$K$上对$K_w^n$中点的逼近。作为结果，我们发现$\mathbb{R}^n$中$\mathbb{Q}$上的逼近指数与其在$K_w^n$中$K$上的推广具有相同的谱。当$w$在$\mathbb{Q}$的位$\ell$上具有相对次数1时，我们进一步将$K$上对点$\boldsymbol{\xi}\in K_w^n$的逼近，与通过标量扩张得到的$\mathbb{Q}$上对点$\Xi\in\mathbb{Q}_\ell^{nd}$的逼近联系起来，其中$d$为$K$在$\mathbb{Q}$上的次数。结合Bel的一个结果，这使我们能够构造定义在$\mathbb{Q}$上的$\mathbb{R}^{3d}$中次数为$2d$的代数曲线，其包含关于有理逼近非常奇异的点。