平方筛法的几何推广及其在循环覆盖上的应用

我们提出一个一般性问题：给定全局域 $K$ 上的射影概型 $\mathbb{Y}$ 和 $\mathbb{X}$ 以及从 $\mathbb{Y}$ 到 $\mathbb{X}$ 的有限次数 $K$-态射 $\eta$，在 $\mathbb{X}(K)$ 中高度至多为 $B$ 的点有多少在 $\mathbb{Y}(K)$ 中存在 $\eta$ 下的原像？该问题受 Serre 关于数域上定义的不可约射影簇上有界高度点数的定量上界著名猜想的启发。当 $K=\mathbb{F}_q(T)$ 且 $\mathbb{Y}$ 是 $\mathbb{X}=\mathbb{P}_{K}^n$ 的素数次循环覆盖时，我们给出了该一般问题的非平凡回答。我们的工具是一种新的几何筛法，它将多项式筛法推广到全局函数域上的几何情形。