双 prover 单轮博弈的参数与连通性问题的难度

优化双 prover 单轮博弈（2P1R）的参数是 PCP 文献中的一项重要任务，因为它意味着在相同或更强可靠性下获得更小的 PCP。虽然这是 PCP 社区的一个基本问题，但 PCP 参数与近似难度之间的联系对近似算法社区而言有时是模糊的。在本文中，我们研究了 2P1R 参数与近似所谓连通性问题类（包括可生存网络设计和（多）割问题等子类）的难度之间的联系。基于 Chan (ECCC 2011) 关于 2P1R 的最新进展以及 PCP 文献中的几种技术，我们将某些连通性问题的难度结果从 $k^\sigma$ 形式（其中 $\sigma>0$ 为某个（非常）小的常数）改进为 $k^c$ 形式（其中 $c$ 为某个显式常数），这里 $k$ 是一个连通性参数。此外，我们展示了如何将这些难度转化为 $D^{c'}$ 形式的难度结果，其中 $D$ 是需求对的数量（或终端的数量）。因此，我们给出了有向和无向图上根 $k$-连通性问题的 $k^{1/2-\epsilon}$ 和 $k^{1/10-\epsilon}$ 改进难度结果，无向图上顶点连通可生存网络设计问题的 $k^{1/6-\epsilon}$ 难度结果，以及无向图上顶点连通 $k$-路径割问题的 $k^{1/6-\epsilon}$ 难度结果。