柔性图连通性的近似算法

我们针对柔性图连通性模型中的若干网络设计问题给出近似算法（Adjiashvili、Hommelsheim 和 M"uhlenthaler，“Flexible Graph Connectivity”，Math. Program. pp. 1-33 (2021)，以及 IPCO 2020: pp. 13-26）。设 $k\geq 1$、$p\geq 1$ 和 $q\geq 0$ 为整数。在 $(p,q)$-柔性图连通性问题（记为 $(p,q)$-FGC）的实例中，我们有一个无向连通图 $G = (V,E)$、将 $E$ 划分为安全边集 $S$ 和不安全边集 $U$ 的一个划分，以及边上非负代价 $c: E\to\Re$。边子集 $F \subseteq E$ 对 $(p,q)$-FGC 问题是可行的，如果对任意满足 $|F'|\leq q$ 的不安全边子集 $F'$，子图 $(V, F \setminus F')$ 是 $p$-边连通的。算法目标是找到最小化 $c(F) = \sum_{e \in F} c_e$ 的可行解 $F$。我们通过归约到最小代价有根 $2$-树形图问题，为 $(1,1)$-FGC 问题给出一个简单的 $2$-近似算法。这改进了 Adjiashvili 等人的 $2.527$-近似算法。我们对 $(1,1)$-FGC 问题的 $2$-近似算法推广到 $(1,k)$-FGC 问题的 $(k+1)$-近似算法。我们给出 $(p,1)$-FGC 问题的 $4$-近似算法，以及 $(p,q)$-FGC 问题的 $O(q\log|V|)$-近似算法。最后，我们通过给出 $16/11$-近似算法改进了 Adjiashvili 等人关于未加权 $(1,1)$-FGC 问题的结果。$(p,q)$-FGC 问题与容量网络设计领域中著名的容量 $k$-连通子图问题（记为 Cap-k-ECSS）相关。我们对 Cap-k-ECSS 问题给出 $\min(k,2 u_{max})$-近似算法，其中 $u_{max}$ 表示边的最大容量。