基于增广的柔性网络设计近似算法

Adjiashvili 引入了非均匀故障模型下的网络设计：给定图的边集被划分为安全边和不安全边。顶点对 $(s,t)$ 是 $(p,q)$-柔性连通的，如果即使在移除任意 $q$ 条不安全边后，$s$ 和 $t$ 仍具有 $p$ 边连通性。给定图 $G$，目标是选择 $G$ 的一个最小代价子图 $H$，该子图对给定顶点对集合具有所需的柔性连通性。该模型推广了被广泛研究的基于边连通性的网络设计，然而，即便其特例也被证明难以近似得多。该模型下网络设计的可近似性主要在两个感兴趣的设置中被研究：(i) 在名称 FTP 和 FTF（容错路径和容错流）下的单对设置，(ii) 在名称 FGC（柔性图连通性）下的生成设置。这些论文中已有若干正面结果。然而，尽管与知名网络设计问题相似，这一新模型在设计算法近似上一直具有挑战性，尤其当 $p,q \ge 2$ 时。我们获得两项推进该模型算法设计理解的结果。1. 我们对单对 $(s,t)$ 的 $(2,2)$-柔性连通性获得了 $5$-近似。此前该设置下已知无非平凡近似。2. 我们对任意 $p \ge 1$ 的 $(p,2)$ 和 $(p,3)$-FGC，以及任意偶数 $p$ 的 $(p,4)$-FGC 获得了 $O(p)$ 近似。我们对任意 $q \ge 1$ 的 $(2,q)$-FGC 获得了 $O(q)$-近似。此前这些设置仅已知 $O(q \log n)$-近似。我们的结果通过增广框架获得，其中我们识别出一种结构化方式来使用知名的用于覆盖不可交叉割族的 $2$-近似。我们的分析还证明了我们所公式化的 LP 松弛的相应积分间隙界。