相互作用玻色子的对激发与平均场近似（二）

我们考虑具有相互作用势 $v_N(x)=N^{3 \beta}v(N^{\beta}x)$ 的大量玻色子。在早先的论文中，我们考虑了关于凝聚体 $\phi$ 和对激发函数 $k$ 的一组方程，并证明了对于 $\beta <\frac{1}{3}$，它们提供了对凝聚体精确演化的 Fock 空间近似。E. Kuz 将此结果推广到 $\beta<\frac{1}{2}$ 的情形，并在其中非正式地论证了我们早期工作的方程对于 $\beta>\frac{1}{2}$ 不提供近似。2013年，我们引入了对原始方程的一个耦合改进，并猜想它们在 $0 \le \beta < 1$ 范围内提供 Fock 空间近似。在本文中，我们证明了至少在局部时间内，对于 $\beta < \frac{2}{3}$ 这确实成立。为此，我们以令人联想到 BBGKY 的方式重新表述了 \cite{GMM} 中的方程，并应用 X. Chen 和 J. Holmer 精神下的调和分析技术来证明必要的估计。进而，这些估计给出了对激发函数 $k$ 的界。