混合 Lebesgue 空间 $L^{p,q}(\mathbf{R}\times \mathbf{R}^{d})$ 平移不变子空间中的 $(p,q)$-框架

本文主要讨论混合 Lebesgue 空间 $L^{p,q}(\mathbf{R}\times \mathbf{R}^{d})$ 的平移不变子空间 \begin{equation*} V_{p,q}(\Phi)=\left\{\sum\limits_{i=1}^{r}\sum\limits_{j_{1}\in \mathbf{Z}}\sum\limits_{j_{2}\in \mathbf{Z}^{d}}d_{i}(j_{1},j_{2})\phi_{i}(\cdot-j_{1},\cdot-j_{2}):\Big(d_{i}(j_{1},j_{2})\Big)_{(j_{1},j_{2})\in \mathbf{Z}\times\mathbf{Z}^{d}}\in \ell^{p,q}(\mathbf{Z}\times\mathbf{Z}^d)\right\} \end{equation*} 中的 $(p,q)$-框架。给出了 $\{\phi_{i}(\cdot-j_{1},\cdot-j_{2}):(j_{1},j_{2})\in\mathbf{Z}\times\mathbf{Z}^d,1\leq i\leq r\}$ 构成 $V_{p,q}(\Phi)$ 的 $(p,q)$-框架的一些等价条件。此外，结果表明在这些关于族 $\{\phi_{i}(\cdot-j_{1},\cdot-j_{2}):(j_{1},j_{2})\in\mathbf{Z}\times\mathbf{Z}^d,1\leq i\leq r\}$ 的 $(p,q)$-框架等价条件下 $V_{p,q}(\Phi)$ 是闭的，尽管一般结论并不成立。