具有等变群作用的组合种的 P\'olya 理论

Joyal 的组合种（combinatorial species）理论通过将结构信息转化为代数函数方程，为枚举组合结构提供了一个丰富而优雅的框架。我们提出了一些经典和众所周知的结果，这些结果用对称群在标记集上的作用的 P\'olya 理论来解释种理论的圈指标级数（cycle index series），从而允许枚举“部分标记”的结构，并为若干证明提供了另一种基础。我们还扩展了该理论以纳入关于组合种上“结构”群作用（即与标记置换作用可交换的作用）的信息，利用 Henderson 的 $\Gamma$-种，并给出了相关形式幂级数的 P\'olya 理论解释。我们定义了 $\Gamma$-种上适当的运算 $+$、$\cdot$、$\circ$ 和 $\square$，给出了 $\Gamma$-圈指标上相关运算的公式，并说明了利用该理论研究若干重要组合结构实例的方法。最后，我们演示了如何使用 Sage 计算机代数系统来枚举 $\Gamma$-种及其商。