序列模 $p^r$ 的 $p$-线性方案

许多有趣的组合序列，例如 Apéry 数和 Franel 数，在几乎所有素数 $p$ 下都具有所谓的 Lucas 性质。在素数幂 $p^r$ 模下，此类序列表现出更复杂的行为，这可以通过称为 $p$-线性方案的 Lucas 性质的矩阵版本来描述。它们是有限 $p$-自动机的例子。在本文中，我们构造了这样的 $p$-线性方案，并给出了状态数的上界，对于固定的 $r$，该上界不依赖于 $p$。