非完美域上定义的簇的 $p$-基与微分算子

设 $k$ 为特征为 $p > 0$ 的可能非完美域。本文中我们证明了对 $k$ 上有限型正则代数的绝对 $p$-基的局部存在性。即，考虑 $k$ 上的正则簇 $Z$。Kimura 与 Niitsuma 证明了，对每一点 $\xi \in Z$，局部环 $\mathcal{O}_{Z,\xi}$ 在 $\mathcal{O}_{Z,\xi}^p$ 上有一个 $p$-基。此处我们证明，对每一点 $\xi \in Z$，存在 $\xi$ 的一个开仿邻域，记为 $\xi \in \text{Spec}(A) \subset Z$，使得 $A$ 在 $A^p$ 上承认一个 $p$-基。从局部环到 $\xi$ 的仿邻域的这一过渡具有几何推论，其中若干将在文章第二部分讨论。正如我们将看到的，给定代数 $A$ 在 $A^p$ 上的一个 $p$-基 $\mathcal{B}$，存在一族自然关联到 $\mathcal{B}$ 的 $A$ 上的微分算子。这些微分算子将使我们能够给出 $k$ 上定义簇的正则性的 Jacobian 判据，以及计算理想 $I \subset A$ 的阶的方法。