单方向不变的超定保守二维系统与 Potapov 定理的推广

本工作是作者工作 arXiv:0812.3779v1 的直接延续。研究并发展了保守超定时不变二维系统的一个特例。通过定义此类系统的传递函数，我们得到了一类内函数 $S(\lambda,t_2)$ 的类 CI，该类函数在 $\lambda=\infty$ 时为单位映射，满足特定正则性假设，并将带有谱参数 $\lambda$ 的常微分方程的解交织在一起。利用平移模型，我们证明了类 CI 中的每个函数都可以实现为某个 vessel 的传递函数。该理论的亮点是 Potapov 定理的推广，它给出了此类函数的一个非常特殊的公式，形式为对应于某系统算子 $A_1(t_2)$ 离散谱的 Blacke-Potapov 乘积与对应于 $A_1(t_2)$ 连续谱的乘积积分的乘积。该定理是在比整个理论的发展稍严格的假设下证明的。即，我们假设传递函数的导数对于几乎所有 $\lambda$ 是 $t_2$ 的连续函数。在最后一部分，考虑了 CI 中矩阵函数的零点/极点插值问题，并重新证明了出现在 arXiv:0812.3779v1（定理 8.1）中的此类函数的实现定理。还分析了埃尔米特情况并证明了相应的实现定理。