一般二维域上 Schnakenberg 反应扩散系统中局部化斑点模式的振荡平动不稳定性

对于有界二维平面域 $\Omega$，我们研究域几何形状对奇异扰动 Schnakenberg 反应扩散系统 $N$ 斑点平衡解的振荡平动不稳定性的影响，该系统活化剂-抑制剂扩散率比满足 $\mO(\eps^2) \ll \mO(1)$。$N$ 斑点平衡的特征在于：除 $N$ 个相互分离、尺度为 $\mO(\eps)$ 的局部化区域外，活化剂浓度在 $\Omega$ 中处处指数小。我们使用匹配渐近分析方法研究 Hopf 分岔阈值，超过该阈值后平衡对平动扰动失稳，导致斑点位置出现 $\mO(\eps^2)$ 频率的振荡。我们发现对此类扰动的稳定性由一个非线性矩阵特征值问题支配，其特征向量是一个刻画可能振荡模式（方向）的 $2N$ 维向量。$2N\times 2N$ 矩阵包含与 $\Omega$ 上某一 Green 函数相关的项，该函数编码了几何效应。对于极坐标下半径为 $r = 1 + \sigma f(\theta)$ 的扰动圆盘这一特例，其中 \red{$0< \varepsilon \ll \sigma \ll 1$}，$\theta \in [0,2\pi)$，且 $f(\theta)$ 为 $2\pi$ 周期函数，我们证明在 $\sigma$ 的首阶下仅 $f$ 的 Fourier 级数的 mode-2 系数影响分岔阈值。我们进一步证明当 $f(\theta) = \cos2\theta$ 时，主导振荡模式平行于扰动圆盘长轴方向。我们对不同域 $\Omega$ 与 $N$ 斑点平衡下的完整 Schnakenberg PDE 进行了数值研究，以确认渐近结果并展示域几何形状如何影响阈值与主导振荡模式。