$H$-自由图的正交表示

设 $x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}^d$ 为单位向量，使得其中任意三个必有一对正交。作为 $d$ 的函数，$n$ 最大能有多大？$x_1 + \ldots + x_n$ 的长度最大能有多大？Erd\H{o}s 和 Lov\'{a}sz 提出的这两个著名问题的答案，与无三角形图的正交表示密切相关，特别是与其 Lov\'{a}sz $\vartheta$ 函数及最小半定秩相关。本文研究一般 $H$-自由图的这些参数。特别地，我们证明了对某些二部图 $H$，$H$ 的 Tur\'{a}n 数与所有 $H$-自由图 $G$ 上 $\vartheta \left( \overline{G} \right)$ 的最大值之间存在联系。