球面的正交着色

二维单位球面 $\mathbb{S}^2$ 的正交着色，是将 $\mathbb{S}^2$ 划分为若干部分，使得没有部分包含一对正交点，即球距为 $\pi/2$ 的一对点。一个众所周知的结果是，$\mathbb{S}^2$ 的正交着色至少需要四个部分，而恰好包含四个部分的正交着色可以容易地由以原点为中心的正八面体构造。一个引人入胜的问题是，是否 $\mathbb{S}^2$ 的每一个正交 4-着色都是这样的八面体着色。本文探讨此问题，并证明若每个颜色类具有非空内部，则该着色是八面体的。还给出了一些相关结果。