$g\phi^2(i\phi)^{\epsilon}$ 理论的原创研究：$\epsilon$ 各阶分析与重求和

在最近的一项工作中，计算了 $\mathcal{PT}$ 对称标量理论 $g \phi^{2}(i\phi)^\epsilon$ 的格林函数在对数展开的一阶（即 $\epsilon$ 的一阶）的结果，并有人提议利用这种 $\epsilon$ 幂次展开来对该理论进行系统性重整化。利用我们最近为分析一个普通（厄米）标量理论所发展的技术，在本工作中我们计算了 $O(\epsilon^2)$ 阶的格林函数，并将分析推进到更高阶。我们发现，在 $\epsilon$ 的每一个有限阶，该理论对任意维度 $d \geq 2$ 都是非相互作用的。我们由此得出结论：这种展开绝不可用于该理论的系统性重整化。这促使我们考虑重求和，并从主导贡献开始。遗憾的是，结果相当糟糕。具体到物理上相关的 $i g \phi^3$ 模型，我们表明该重求和仅仅给出弱耦合展开中最平凡的最低阶结果。我们随后对次主导图进行了重求和，但结果同样相当糟糕。所有这些都对该理论 $g \phi^{2}(i\phi)^\epsilon$ 借助此种展开进行研究的可能性提出了严重质疑。我们最后补充，本工作所呈现的发现是我们较早前（2019年12月）得到的，并且我们欣喜地看到，我们在2019年12月传达给 C.M. Bender 的这些结果，在 C.M. Bender 及其合作者最近的一篇预印本（e-Print:2103.07577）中得到了证实。