最优正交群同步与旋转群同步

我们研究正交群同步与旋转群同步的统计估计问题。模型为 $Y_{ij} = Z_i^* Z_j^{*T} + \sigma W_{ij}\in\mathbb{R}^{d\times d}$,其中 $W_{ij}$ 为高斯随机矩阵, $Z_i^*$ 为正交矩阵或旋转矩阵,每个 $Y_{ij}$ 以概率 $p$ 独立观测。我们分析了一种用于估计 $Z^*$ 的迭代极分解算法,并证明其经谱方法初始化后误差为 $(1+o(1))\frac{\sigma^2 d(d-1)}{2np}$。进一步建立了匹配极小极大下界,表明所提算法达到精确极小极大风险因而最优。