diamond 距离下量子信道的最优学习

量子过程测 tomography（quantum process tomography, QPT）是估计未知量子信道的核心问题。长期以来，一个备受关注的问题是确定学习未知信道所需的使用次数，以 diamond 距离为准。这一指标是区分量子过程的标准度量。虽然量子态测 tomography 的类似问题在过去数十年间已在纯态和混合态情形下得到解决，但对于一般量子信道而言，问题仍基本悬而未决，尤其是仅限于单位信道的情况。本文我们设计了一个算法，表明任何输入输出维度为 $d_{\mathrm{in}},d_{\mathrm{out}}$ 且 Kraus 秩至多为 $k$ 的信道，可使用 $\Theta(d_{\mathrm{in}}d_{\mathrm{out}}k)$ 次信道使用即可达到常数精度的 diamond 距离；我们通过匹配的下界证明了该尺度的最优性。更一般地， Achieving accuracy $\varepsilon$ 可使用 $O(d_{\mathrm{in}}d_{\mathrm{out}}k/\varepsilon^{2})$ 次信道使用。由于量子信道包含状态、单位矩阵和等距构成为特例，本协议提供了一个统一框架，用于相应的测 tomography 任务；特别是，它给出了等距测 tomography 和二进制测量 tomography 的首个最优协议，并恢复固定秩状态的最优 trace 距离测 tomography。我们的做法将信道测 tomography 降低为纯态测 tomography：我们使用该信道准备其 Choi 态的副本，在平行中对其进行纯化，然后对所得的纯化进行样本最优纯态测 tomography；我们还证明，诱导的 diamond 距离误差在估计（纯化）Choi 态的 trace 距离误差中基本呈线性比例。我们也解决了一个悬置问题，表明在维度最优查询复杂度下，适应性并不能提高量子信道测 tomography 的性能。