Improved Lower Bounds for Learning Quantum Channels in Diamond Distance

我们证明，学习未知量子通道（输入维度为$d_A$，输出维度为$d_B$，Choi秩为$r$），以Diamond距离$\varepsilon$为准则，需要的通道查询次数为$\Omega\!\left( \frac{d_A d_B r}{\varepsilon \log(d_B r / \varepsilon)} \right)$（当$d_A= rd_B$时），以及$\Omega\!\left( \frac{d_A d_B r}{\varepsilon^2 \log(d_B r / \varepsilon)} \right)$（当$d_A\le rd_B/2$时）。这些下界改进了以往最好的$\Omega(d_A d_B r)$下界，引入了显式且接近最优的$\varepsilon$依赖性。此外，当$d_A\le rd_B/2$时，下界在对数因子上达到了最优。该证明构建了在Diamond范数下彼此良好分离的通道集合，同时这些通道的Stinespring同构映像在算子范数下彼此接近。